यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} \right) = K\left( {^{50}C_{25}} \right)}$,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1, 2, 3, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनाई गई $5$ अंकों की कुल कितनी संख्याएँ $6$ से विभाज्य हैं?

$(n + 1)$ सफेद गेंदें और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं। प्रत्येक गेंद पर $1$ से $(n + 1)$ तक की संख्या अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो समान रंग की गेंदें आसन्न न हों?

एक लेटर लॉक में $15$ अलग-अलग अक्षरों वाली तीन रिंग्स हैं। यदि $N$ लॉक खोलने के लिए किए गए असफल प्रयासों की संख्या को दर्शाता है, तो:

$(2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$ किसके बराबर है?

$10000$ से छोटी ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य हैं और जिनमें किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होती है?